Una función cúbica
f(x) = x³ − 3x + 2 tiene ceros en x = 1 (raíz doble) y x = −2, un máximo local en x = −1 y un mínimo local en x = 1, y un punto de inflexión en x = 0.
Estudio de función polinómica
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Cómo funciona
El dominio de un polinomio siempre son todos los números reales, así que el estudio pasa directamente a preguntas más interesantes: dónde cruza la función el cero, dónde su pendiente es cero (los propios ceros de la derivada, marcando picos, valles o puntos de silla), y dónde su curvatura cambia de cóncava a convexa o al revés (los ceros de la segunda derivada, los puntos de inflexión).
La derivada de un polinomio se calcula simbólicamente término a término (la regla de la potencia), lo cual es exacto, sin aproximación. Los ceros de la función, de la derivada y de la segunda derivada se hallan luego buscando cambios de signo y refinando cada uno, ya que no existe una fórmula general para las raíces de un polinomio de grado superior a 4.
Fórmulas utilizadas
Regla de la potencia
d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹, aplicada término a término
Ejemplos resueltos
Una parábola simple
f(x) = x² − 4 tiene ceros en x = −2 y x = 2, y un único punto crítico en x = 0, un mínimo local.
Supuestos y límites
- La función es un polinomio con coeficientes reales, de grado 6 o menor.
- Las raíces se buscan dentro de ±50; una función con raíces fuera de ese rango podría mostrar un panorama incompleto.
Preguntas frecuentes
¿Cómo introduzco los coeficientes?
Lístalos desde la potencia más alta de x hasta el término constante, separados por comas; para f(x) = 2x³ − 5x + 1, introduce "2, 0, -5, 1" (nota el 0 para el término x² que falta).
¿Qué es un punto crítico?
Un punto donde la derivada es cero: la pendiente de la función está momentáneamente plana allí, marcando un máximo local, un mínimo local, o (raramente, para un polinomio) un punto de silla donde la pendiente toca cero sin llegar a invertirse.
¿Qué es un punto de inflexión?
Un punto donde la segunda derivada es cero y la curva pasa de curvarse hacia arriba (convexa) a curvarse hacia abajo (cóncava), o al revés: los puntos de "doble curva" de la gráfica.
¿Por qué esto solo maneja polinomios?
Los polinomios tienen derivadas exactas y simbólicas, sencillas de calcular término a término. Las funciones racionales, trigonométricas o exponenciales necesitan un motor simbólico más general, fuera del alcance de esta herramienta.
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