Une fonction cubique
f(x) = x³ − 3x + 2 a des zéros en x = 1 (racine double) et x = −2, un maximum local en x = −1 et un minimum local en x = 1, et un point d’inflexion en x = 0.
Étude de fonction polynomiale
Résultat
Renseignez les champs pour afficher votre résultat.
Comment ça fonctionne
Le domaine d'un polynôme est toujours l'ensemble des réels, donc l'étude passe directement à des questions plus intéressantes : où la fonction croise zéro, où sa pente est nulle (les zéros de la dérivée elle-même, marquant sommets, creux ou points selles), et où sa courbure bascule de concave à convexe ou inversement (les zéros de la dérivée seconde, les points d'inflexion).
La dérivée d'un polynôme se calcule symboliquement terme à terme (la règle de puissance), ce qui est exact — sans approximation. Les zéros de la fonction, de la dérivée et de la dérivée seconde sont ensuite trouvés en balayant les changements de signe et en affinant chacun, car il n'existe pas de formule générale pour les racines d'un polynôme au-delà du degré 4.
Formules utilisées
Règle de puissance
d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹, appliquée terme à terme
Exemples détaillés
Une parabole simple
f(x) = x² − 4 a des zéros en x = −2 et x = 2, et un seul point critique en x = 0, un minimum local.
Hypothèses et limites
- La fonction est un polynôme à coefficients réels, de degré 6 ou moins.
- Les racines sont recherchées dans ±50 — une fonction avec des racines hors de cette plage pourrait montrer un tableau incomplet.
Questions fréquentes
Comment saisir les coefficients ?
Listez-les de la plus haute puissance de x jusqu'au terme constant, séparés par des virgules — pour f(x) = 2x³ − 5x + 1, entrez « 2, 0, -5, 1 » (notez le 0 pour le terme x² manquant).
Qu'est-ce qu'un point critique ?
Un point où la dérivée s'annule — la pente de la fonction y est momentanément plate, marquant un maximum local, un minimum local, ou (rarement, pour un polynôme) un point selle où la pente touche zéro sans réellement s'inverser.
Qu'est-ce qu'un point d'inflexion ?
Un point où la dérivée seconde s'annule et où la courbe passe d'une courbure vers le haut (convexe) à une courbure vers le bas (concave), ou inversement — les points de « double courbure » du graphique.
Pourquoi cela ne gère-t-il que les polynômes ?
Les polynômes ont des dérivées exactes et symboliques, simples à calculer terme à terme. Les fonctions rationnelles, trigonométriques ou exponentielles nécessitent un moteur symbolique plus général, hors de la portée de cet outil.
Mis à jour le
Calculateurs connexes
Formule quadratique Résolvez toute équation du second degré ax² + bx + c = 0 pour ses racines réelles ou complexes, avec le discriminant et chaque étape. Calculateur de pente Trouvez la pente, l'angle, la distance et l'équation d'une droite à partir de deux points, ou d'un point et d'une pente connue. Pourcentage Calculez un pourcentage d’un nombre, une proportion, une variation, ou augmentez et diminuez une valeur — avec toutes les étapes. Fractions Additionnez, soustrayez, multipliez et divisez des fractions, simplifiez-les, et passez de la fraction au décimal. Rapports Simplifiez un rapport, partagez un total entre plusieurs parts, ou résolvez une proportion par produit en croix. Calculateur log Résolvez log_b(x) = y pour x, y ou la base b, avec le logarithme népérien (base e) directement pris en charge.