Un problema clásico de producción
Maximizar 3x₁ + 5x₂ sujeto a x₁ ≤ 4, 2x₂ ≤ 12, y 3x₁ + 2x₂ ≤ 18 da un valor óptimo de 36, en x₁ = 2, x₂ = 6.
Solucionador del método simplex
Resultado
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Cómo funciona
Cada restricción aquí es un límite de tipo "menor o igual que" sobre una combinación lineal de las variables, con cada variable obligada a permanecer no negativa: la forma estándar sobre la que se construyó originalmente el método simplex. Se añade una variable de holgura a cada restricción para convertir la desigualdad en ecuación, y el algoritmo pivota entre los vértices de la región factible, avanzando siempre hacia un mejor valor objetivo, hasta que ya no es posible ninguna mejora.
El resultado está garantizado como óptimo cuando existe: el método simplex nunca se conforma con una mejora local que no sea también la mejor global, a diferencia de muchas técnicas de optimización de propósito general.
Fórmulas utilizadas
Forma estándar
Maximizar c₁x₁ + c₂x₂ + …, sujeto a cada aᵢ₁x₁ + aᵢ₂x₂ + … ≤ bᵢ, y cada xⱼ ≥ 0
Ejemplos resueltos
Minimizando en su lugar
Para minimizar el mismo objetivo bajo las mismas restricciones, el mejor valor es 0, alcanzado en x₁ = 0, x₂ = 0: minimizar un objetivo de coeficientes positivos bajo estos límites se resuelve trivialmente en el origen.
Supuestos y límites
- El objetivo y todas las restricciones son lineales (sin términos al cuadrado ni productos de variables).
- Todas las variables están restringidas a ser no negativas.
- Todas las restricciones son "menor o igual que", con un límite no negativo.
Preguntas frecuentes
¿Cómo introduzco una restricción?
Una línea por restricción, con el coeficiente de cada variable en orden seguido del límite; para x₁ + 2x₂ ≤ 10, introduce "1, 2, 10". Una variable ausente de una restricción recibe coeficiente 0.
¿Puedo usar restricciones "mayor o igual que" o "igual a"?
No directamente en esta versión: resuelve problemas en forma estándar solo con restricciones "≤" y variables no negativas. Una restricción "≥" a veces puede reescribirse como "≤" multiplicando ambos lados por −1.
¿Qué significa "no acotado"?
Significa que el objetivo puede mejorarse indefinidamente dentro de las restricciones dadas: no hay techo, así que no existe una única respuesta óptima. Suele indicar una restricción faltante en el planteamiento del problema.
¿Por qué las variables deben ser no negativas?
Es la suposición estándar en la mayoría de problemas reales de programación lineal (no se puede producir una cantidad negativa de algo), y es lo que el método simplex clásico está construido para aprovechar.
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