Un problème de production classique
Maximiser 3x₁ + 5x₂ sous x₁ ≤ 4, 2x₂ ≤ 12, et 3x₁ + 2x₂ ≤ 18 donne une valeur optimale de 36, à x₁ = 2, x₂ = 6.
Solveur de méthode du simplexe
Résultat
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Comment ça fonctionne
Chaque contrainte ici est une limite « inférieur ou égal » sur une combinaison linéaire des variables, chaque variable devant rester non négative — la forme standard sur laquelle la méthode du simplexe a été construite à l'origine. Une variable d'écart est ajoutée à chaque contrainte pour convertir l'inégalité en équation, puis l'algorithme pivote entre les sommets de la région réalisable, en progressant toujours vers une meilleure valeur objectif, jusqu'à ce qu'aucune amélioration ne soit plus possible.
Le résultat est garanti optimal quand il en existe un : la méthode du simplexe ne se contente jamais d'une amélioration locale qui ne serait pas aussi le meilleur global, contrairement à beaucoup de techniques d'optimisation généralistes.
Formules utilisées
Forme standard
Maximiser c₁x₁ + c₂x₂ + …, sous chaque aᵢ₁x₁ + aᵢ₂x₂ + … ≤ bᵢ, et chaque xⱼ ≥ 0
Exemples détaillés
Minimiser à la place
Pour minimiser le même objectif sous les mêmes contraintes, la meilleure valeur est 0, atteinte à x₁ = 0, x₂ = 0 — minimiser un objectif à coefficients positifs sous ces limites se résout trivialement à l’origine.
Hypothèses et limites
- L'objectif et chaque contrainte sont linéaires (aucun terme au carré ni produit de variables).
- Toutes les variables sont contraintes à être non négatives.
- Toutes les contraintes sont « inférieur ou égal », avec une limite non négative.
Questions fréquentes
Comment saisir une contrainte ?
Une ligne par contrainte, avec le coefficient de chaque variable dans l'ordre suivi de la limite — pour x₁ + 2x₂ ≤ 10, entrez « 1, 2, 10 ». Une variable absente d'une contrainte reçoit un coefficient de 0.
Puis-je utiliser des contraintes « supérieur ou égal » ou « égal » ?
Pas directement dans cette version — elle résout des problèmes en forme standard avec des contraintes « ≤ » et des variables non négatives uniquement. Une contrainte « ≥ » peut parfois se réécrire en « ≤ » en multipliant les deux côtés par −1.
Que signifie « non borné » ?
Cela signifie que l'objectif peut s'améliorer indéfiniment dans les contraintes données — il n'y a pas de plafond, donc aucune réponse optimale unique n'existe. Cela signale généralement une contrainte manquante dans la formulation du problème.
Pourquoi les variables doivent-elles être non négatives ?
C'est l'hypothèse standard dans la plupart des problèmes réels de programmation linéaire (on ne peut pas produire une quantité négative de quelque chose), et c'est ce que la méthode du simplexe classique est construite pour exploiter.
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