Donnez deux mesures et tout le reste suit : le troisième côté, les deux angles aigus, l’aire, le périmètre et les cercles qui s’inscrivent dedans et autour.
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Un triangle rectangle est entièrement déterminé par deux données, l’angle droit constituant déjà la troisième. Deux côtés le fixent par Pythagore. Un côté et un angle le fixent par la trigonométrie. Rien d’autre n’est nécessaire, et rien d’autre n’est libre.
Pythagore s’occupe des côtés : le carré de l’hypoténuse égale la somme des carrés des deux autres. C’est un énoncé sur des aires — d’où les carrés — et il ne vaut que si un angle mesure exactement quatre-vingt-dix degrés.
Dès qu’un angle intervient, les trois rapports prennent le relais. Le sinus relie le côté opposé à l’hypoténuse, le cosinus le côté adjacent à l’hypoténuse, la tangente un côté de l’angle droit à l’autre. Chacun est un nombre fixe pour un angle donné, quelle que soit la taille du triangle — et c’est exactement ce qui les rend utiles.
a² + b² = c²
sin A = a ÷ c cos A = b ÷ c tan A = a ÷ b
A = a × b ÷ 2 h = a × b ÷ c
La hauteur est la perpendiculaire abaissée de l’angle droit sur l’hypoténuse.
Des côtés de 3 et 4 donnent une hypoténuse d’exactement 5 — le plus vieux tour de main du bâtiment, qui permet d’équerrer un angle sans instrument.
Les angles valent environ 36,87° et 53,13°. Tout multiple fonctionne également, d’où le recours au 30-40-50 ou au 60-80-100 sur un chantier.
Une échelle de 5 m atteignant une fenêtre à 4 m de haut repose à 3 m du mur, avec un angle d’environ 53° au sol.
Les consignes d’usage demandent plutôt 75° : celle-ci est donc trop couchée, ce que le calculateur rend visible immédiatement.
Une élévation de 2 m à 30° de pente donne une portée horizontale d’environ 3,46 m et un chevron de 4 m.
Le chevron est l’hypoténuse : toujours plus long que l’élévation comme que la portée, et c’est cette longueur-là qu’il faut acheter.
Toujours celui qui fait face à l’angle droit, et toujours le plus long des trois.
Si un calcul vous donne une hypoténuse plus courte qu’un autre côté, c’est que deux valeurs ont été interverties quelque part.
Parce qu’il produit un angle droit parfait avec un simple mètre ruban. Marquez 3 unités sur une ligne, 4 sur l’autre, et ajustez jusqu’à lire exactement 5 en diagonale.
Il se met librement à l’échelle : de plus grands multiples donnent un angle plus précis sur un mur long.
Non : le champ accepte degrés, radians ou grades, et convertit en interne.
Le degré s’impose dans le bâtiment ; le radian est ce qu’utilise réellement la trigonométrie sous-jacente.
C’est la plus courte distance entre l’angle droit et le côté opposé ; elle revient constamment dans les problèmes de structure et d’optique.
Elle découpe aussi le triangle en deux triangles semblables à l’original — bon à savoir lorsqu’un énoncé semble manquer d’une mesure.
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